En está sección revisaremos los conceptos básicos del Método del Elemento Finito (FEM, por sus siglas en inglés) también llamado Análisis de Elemento Finito (FEA, por sus siglas en inglés). El proceso de FEA se divide en tres pasos principales, pre-procesamiento, solución y post-procesamiento. El pre-procesamiento consiste en dividir un dominio de estudio complejo (modelo 3D, por ejemplo) en un número finito de elementos con geometrías más simples. Cada elemento representa una parte del dominio de estudio y, por ser una geometría muy simple, se puede conocer sus propiedades mecánicas en términos matriciales (Rigidez, masa, etc.). Los elementos finitos se unen unos con otros por medio de nodos compartidos. La nube de nodos y elementos se conoce como malla. Esta malla puede variar en cantidad de nodos y por ende de elementos, a esa variación la conocemos como densidad de malla. Un mismo modelo de elemento finito puede tener elementos de diferentes tamaños y/o diferente densidad. En una análisis de esfuerzos los desplazamientos nodales son las variables primarias que Abaqus calcula. Una vez que se conocen dichos desplazamientos, podemos calcular las variables secundarias: tensores de esfuerzos y deformaciones, estas variables secundarias se almacenan dentro de los elementos en sus puntos de integración.

Para el cálculo de las variables primarias hay dos técnicas principales, métodos implícitos y métodos explícitos.

 

Métodos implícitos para obtener los desplazamientos nodales

Para esta explicación usaremos como ejemplo una simple viga empotrada en uno de sus extremos libres, con una carga en el otro extremo, como se muestra en la siguiente Figura.

Figura 1. Viga empotrada con carga axial en el extremo libre.

En esta Figura 1 mostramos el dominio de estudio continuo, lo cual significa que tiene un número infinito de partículas. Si usamos elemento finito, esta viga se puede representar por un número finito de nodos y elementos. La Figura 2 mostramos la misma viga pero usando una malla de dos elementos y tres nodos.

Figura 2. Modelo discreto de viga empotrada con carga axial

Como podemos observar los elementos 1 y 2 comparte al nodo b, así, sí hacemos un diagrama de cuerpo libre para cada nodo en el modelo de la Figura 2, cada uno de esos nodos recibe carga externa, P, aplicada en el modelo y cargas internas, I, causadas por los esfuerzos en los elementos unidos a dicho nodo. Para que el modelo encuentre el equilibrio estático, la sumatoria de fuerzas en cada nodo debe ser cero; i.e., Las cargas internas y externas en cada nodo deben contrarrestar una a la otra. Para los nodos a, b, c sus ecuaciones de equilibro se obtiene de la siguiente manera.

Figura 3. Diagrama de cuerpo libre para cada nodo el modelo.

 Considerando que el cambio de longitud de la viga es pequeño, la deformación en el elemento 1 esta dada por:

donde  son los desplazamientos de los nodos a y b, respectivamente, y L es la longitud original del elemento.

Considerando que el material es elástico, el esfuerzo en la viga es proporcional al módulo de elasticidad del material multiplicado por la deformación (Ley de Hooke).

La fuerza axial que actúa en el nodo final es equivalente al esfuerzo en la viga multiplicado por el área de su sección transversal, A. Así, la relación entre la fuerza interna, las propiedades del material, y los desplazamientos es obtenida.

Por lo tanto, el equilibrio en el nodo a puede expresarse como:

El equilibrio en el nodo b debe considerar las fuerzas interna que actúan de ambos elementos unidos por dicho nodo. La fuerza interna en elemento 1, ahora actúa en sentido opuesto y así se convierte en signo negativo. La ecuación resultante es:

Para el nodo c, la ecuación de equilibro es:

Con los métodos implícitos, las ecuaciones de equilibrio deben ser resueltas simultáneamente para obtener los desplazamientos de cada nodo. Esté requerimiento lo satisfacemos usando técnicas matriciales, por lo tanto, escribimos en notación matricial las fuerzas internas y externas. Sí las propiedades y dimensiones de los dos elementos son las mismas, la ecuación de equilibrio puede simplificarse como sigue:

En general, puede ser que la rigidez del elemento, el termino , son diferentes de elemento en elemento; por lo tanto, escribiremos las rigideces de cada elemento como  y  para los dos elementos en el modelo. Lo que nos interesa es obtener la solución de la ecuación matricial de equilibrio cuando se aplica una carga externa, P, y está encuentra el equilibrio con las cargas internas, I. Cuando analizamos esta ecuación en términos de convergencia y no linealidad, podemos escribirla como:

 Para nuestro modelo de dos elementos y tres nodos, modificamos los signos y re-escribimos la ecuación como:

En un método implícito, como el que usa Abaqus/Standard, este sistema de ecuaciones puede resolverse para obtener los valores de las tres variables desconocidas: ,  y  ( está empotrado, por lo tanto es igual a 0.0). Una vez que conocemos los desplazamientos, podemos calcular los esfuerzos en los elementos viga. Los Métodos de Elemento Finito requieren que el sistema de ecuaciones sea resuelto al final de cada incremento de la solución.

En contraste a los métodos implícitos, un método explícito, como el usado por Abaqus/Explicit, no requiere la solución de un sistema de ecuaciones simultaneas o el cálculo de la matriz global de rigidez. En vez de eso, la solución es cinemáticamente avanzada desde un incremento al siguiente. La extensión del Método del Elemento Finito a dinámica explicita se cubre en la siguiente sección.

 

Propagación de onda de esfuerzos

En está sección se explican algunos conceptos de como se propagan las fuerzas a través de un modelo cuando se usan métodos dinámicos explícitos. En este ejemplo ilustrativo consideramos que la propagación de una onda de esfuerzos a lo largo de la viga modelada con tres elementos, como se muestra en la Figura 3. Estudiaremos el estado de la viga conforme incrementamos el tiempo.

Figura 3. Configuración inicial de la viga con una carga concentrada, P, en el extremo libre.

En el primer incremento de la solución el nodo 1 adquiere una aceleración,, como resultado de la fuerza concentrada, P, aplicada a él. La aceleración causa que el nodo 1 adquiera una velocidad, , la cual a su vez, causa una velocidad de deformación, , en el elemento 1. El incremento de deformación, , en el elemento 1 se obtiene integrando la velocidad de deformación entre el incremento de tiempo 1. La deformación total, , es la sumatoria de la deformación inicial, , y el incremento de deformación. En este caso la deformación inicial es cero. Una vez que la deformación del elemento ha sido calculada, el esfuerzo del elementos se obtiene aplicando el modelo constitutivo del material. Para un material elástico lineal el esfuerzo es simplemente la multiplicación del módulo de elasticidad multiplicado por la deformación total (Ley de Hooke). Este proceso se muestra en la Figura 4. Los nodos 2 y 3 no se mueven en el primer incremento ya que no se están aplicando fuerzas en ellos.

Figura 4. Configuración de la viga con carga concentrada, P, al final del incremento 1

Este proceso continua de tal manera que en el tercer incremento existen esfuerzos en ambos elementos 1 y 2, y existen fuerzas en los nodos 1, 2 y 3, como se muestra en la Figura 5. El proceso continua hasta que el análisis alcanza el tiempo total deseado.

 Figura 5. Configuración de la viga al inicio del incremento de tiempo 3.